Originar din Roma, a făcut primii pași în fotbal la Lazio, una dintre marile echipe din capitala Italiei. Acesta a jucat la grupele de juniori ale lazialilor, ajungând să evolueze, începând cu sezonul 2013-2014 la categoria U19 a „alb-albaștrilor". În primul sezon la „Lazio Primavera", Murgia a strâns 30 de prezențe în toate competițiile și a contribuit cu patru goluri și trei pase decisive. Ba mai mult, unul dintre assist-uri a venit chiar în finala Coppei Italia Primavera, câștigată de Lazio în urma unei finale, în dublă manșă, cu Fiorentina.

După trei ani în care „Sandro" Murgia a fost om de bază în echipa U19 a „biancoceleștilor", stagiunea 2016-2017 i-a adus șansa trecerii la echipa mare. În 17 septembrie 2016, la un meci cu Pescara, disputat pe Olimpico, Murgia a fost introdus în minutul 81 în locul lui Miliknovic-Savic, înregistrând debutul în Serie A. Ulterior, cinci etape mai târziu, antrenorul Simone Inzaghi a apelat din nou la Murgia, care a contribuit decisiv la remiza de pe terenul lui Torino cu primul său gol la seniori. Până la finalul stagiunii, mijlocașul central a ajuns la 14 prezențe pentru Lazio în Serie A și alte patru în Cupa Italiei, reușind să mai marcheze o dată, într-o înfrângere cu Fiorentina (2-3).

Stagiunea 2017-2018 a început cum nu se putea mai bine pentru Murgia, care, introdus pe teren în minutul 80, a marcat, în al treilea minut de prelungire, golul care i-a adus lui Lazio Supercupa Italiei în fața „bianconerilor" de la Juventus. După dubla lui Dybala din minutele 85 și 90, Murgia a avut ultimul cuvânt al meciului și a contribuit decisiv la al 17-lea trofeu din istoria lazialilor. A fost doar startul unui sezon și mai „bogat" decât cel trecut, întrucât Murgia a jucat în 27 de partide pentru Lazio, dintre care nouă în Europa League, debutând astfel și în competițiile europene.

După ce în prima parte a sezonului 2018-2019 a jucat doar în patru meciuri pentru Lazio, Murgia a fost împrumutat în ianuarie 2019 la Spal, unde a livrat trei pase decisive în 15 meciuri de Serie A. La finalul stagiunii, Spal a decis să îl achiziționeze pe Murgia în schimbul sumei de patru milioane de euro.

În ciuda retrogradări formației în Serie B, Alessandro a continuat să joace pentru Spal până în 2023, cu o scurtă perioadă de întrerupere, în care a bifat patru prezențe pentru Perugia. Prima experiență din afara Italiei l-a adus în România, la Hermannastadt, unde a evoluat în 70 de meciuri pe parcursul a două sezoane, contribuind cu patru goluri și șase pase decisive.

Fotbalistul cu 22 de prezențe la naționalele U18, U19 și U21 ale Italiei a ajuns la ”U” în vara anului 2025 și a reușit primul său gol în alb și negru chiar la o partidă împotriva fostei sale echipe, din cadrul rundei a 5-a a Superligii: Hermannstadt-”U” Cluj 2-2.